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CONCEPTION ET REALISATION D’UNE BALANCE DE TYPE " ROMAINE "

Cet article reprend le contenu d'une formation qui a regroupé une quinzaine d'enseignants à Bangui du 2 au 4/3/2000. Depuis, des balances de divers types ont été fabriquées et améliorées (voir notamment une balance à destination des éleveurs centrafricains)

Cette photo a été réalisée lors de la partie "conception" de la balance. Le formateur est M. Clotaire SAULET-SURUNGBA, conseiller pédagogique de sciences physiques à l'INRAP de Bangui (RCA). Sur la table, on dsitingue la balance telle qu'elle sera réalisée par les stagiaires.

I- Définitions et notations :

Le principe de fonctionnement d’une balance romaine est le suivant :

• Une barre homogène de section s, de masse m_barre et de longueur L est mobile en rotation autour d’un axe horizontal D se situant à une distance L₂ de son extrémité gauche. La barre est réalisée dans un métal de masse volumique r .

• Les objets à peser sont placés dans un plateau de masse m_plateau qui est accroché à la barre en un point fixe situé à la distance L₁ de l’extrémité gauche.

• Pour rendre possible l’équilibre horizontal de la barre, une tare de masse m_tare est mobile sur toute la partie à droite de l’axe. Soit L₃ la distance qui rend possible l’équilibre horizontal de la barre lorsque le plateau est vide.

On place un objet de masse M sur le plateau. A partir de la position repérée par L₃, on déplace progressivement la tare vers la droite. Supposons qu’on réussisse à créer une situation d’équilibre horizontal de la barre après un déplacement x :

Dans ces conditions, le théorème des moments impose la relation suivante :

Cette relation nous informe que M peut être considérée comme une fonction affine du déplacement x. On peut donc, en principe, réaliser des graduations équidistantes sur la partie droite de la barre indiquant directement la valeur en grammes de la masse M de l’objet placé dans le plateau.

1) Equilibre en l’absence d’objet dans le plateau :

Dans ce cas (M=0 et x=0), l’équilibre horizontal impose la relation :

relation 1

2) Sensibilité de la balance :

On suppose qu'un équilibre est réalisé avec un objet de masse M dans le plateau pour une position de la tare repérée par L₃+x. On appellera sensibilité de la balance la quantité (en cm/g). A cause du caractère affine de la relation entre M et x, on obtient immédiatement :

relation 2

3) Portée de la balance :

On appellera portée de la balance, la valeur de M correspondant au plus grand déplacement possible de la tare. En notant M_maxi cette grandeur, on obtient la relation :

Par différence avec la relation 1, on obtient :

Et, finalement, en tenant compte de la relation 2 :

relation 3

4) Relation entre la masse et la longueur de la barre :

La barre étant homogène,

relation 4

où k désigne la masse de l’unité de longueur de la barre ( k=r .s )

Remarque : ces quatre relations font intervenir dix grandeurs (L₁, L₂, L₃, L, m_plateau, m_tare, m_barre, k, S, M_maxi)

II- Contraintes théoriques et pratiques dans le choix des paramètres définissant une balance donnée :

Les relations obtenues précédemment montrent, à l’évidence, que les diverses masses et longueurs définissant une balance romaine ne peuvent être choisies indépendamment.

Par exemple, on aimerait pouvoir fabriquer une balance très sensible (S grand), de grande portée (M_maxi grand) et d’encombrement réduit (L petit). La relation 3 montre que ces trois exigences sont incompatibles.

Dans la pratique, les questions de coût des matériaux utilisés, de facilité de fabrication et de solidité importent également.

Pour ces raisons, on décide de s'imposer le cahier des charges suivant :

• Le coût en matériaux et consommables divers doit être le plus bas possible. Ils doivent être disponibles localement.

• Privilégier la récupération et le détournement d'objets usuels.

• Le dispositif doit être robuste et ne nécessiter qu'une maintenance très réduite.

• Les techniques mises en œuvre doivent rester élémentaires c'est-à-dire accessibles rapidement à des enseignants en sciences qui n'ont, en général, aucune formation technologique. On pourra scier, limer, percer, plier, visser mais si possible, on évitera de souder.

• Le dispositif doit être largement démontable (et donc transportable). C'est une raison supplémentaire de privilégier les liaisons par vis/écrous plutôt que par soudage.

Dans ces conditions,

La barre et son support seront fabriquées avec une bande de fer plat d’environ 2,5 cm de large et 4 mm d’épaisseur (2300 FCFA les 6 mètres à Maradi-Niger en avril 98, 4500 FCFA à Bangui-R.C.A. en janvier 2000). Des mesures préalables donne une valeur de k d’environ 7,42 g/cm (on coupe un échantillon d'une quinzaine de centimètres de long dont on mesure avec précision la longueur et la masse, on obtient k par division). Le sciage se fait à la main avec une scie à métaux.

L’axe sera matérialisé par un clou en acier (récupération). Un clou de 6 cm de long et de diamètre 2,5 mm suffit pour les besoins usuels (ce clou supportera les poids de la barre, du plateau, de la tare et de l’objet à peser). Les 2 trous dans la barre seront percés avec une perceuse électrique munie d’une mèche à métal de diamètre 3 mm.

Le plateau sera constitué par une " mesure à mil " en métal émaillé (masse environ 285 g, diamètre environ 21,5 cm, contenance à ras bord environ 2,8 L et coût environ 600 FCFA à Maradi, Niger en avril 98).

La tare sera fabriquée à partir d’une recharge " Camping Gaz " usagée remplie de sable ou de terre (masse à vide environ 90 g, diamètre environ 9 cm et coût nul : récupération). Un essai préalable montre que la masse maximale possible pour une telle tare est de 730 g environ.

Les mesures préalables de masse se feront avec une balance type Roberval à 1 g près. Les mesures de distance avec une règle graduée de 40 cm et un mètre ruban à 0,5 mm près.

En conséquence :

La distance L₂-L₁ doit valoir au moins 10,75 + 1.25 cm soit 12,0 cm (pour que la mesure servant de plateau ne cogne pas dans le support). Avec 0,5 cm de marge de sécurité, il faut donc que L₂-L₁ ³ 12,5 cm.

La distance L₃-L₂ doit valoir au moins 4,5 + 1,25 cm soit 5,75 cm (pour que la tare ne cogne pas dans le support quand elle est dans la position qui équilibre le plateau vide). ). Avec 0,5 cm de marge de sécurité, il faut donc que L₃-L₂ ³ 6,25 cm.

Ces considérations déterminent le premier problème théorique : On s’impose les données de L₂-L₁, L₃-L₂, m_plateau, M_maxi, S et k. Autrement dit, sur les 10 grandeurs, on s’en donne 6 et on veut trouver toutes les autres. Avec 4 équations, le problème est, en principe, soluble. Le paragraphe suivant examine en détail cette résolution.

III- Résolution du premier type de problème :

1) Résolution théorique :

La relation 2 donne m_tare.

Compte tenu des limites imposées à L₂-L₁ et à m_tare (L₂-L₁ ³ 12,5 cm et m_tare £ 730 g), on déduit que S doit être supérieur à environ 12,5 cm / 730 g soit 0,0172 cm/g.

Pour des questions de facilité de graduation, adoptons 0,02 cm/g pour S (c'est à dire 1 cm de décalage de tare pour 50 g supplémentaire dans le plateau); 12,5 cm pour L₂-L₁ et 6,3 cm pour L₃-L₂. Ce qui donne 625,0 g pour m_tare.

La relation 3 donne la valeur de L-L₃. Plus précisément, voici les valeurs calculées pour diverses valeurs de la portée :

Pour éviter un trop grand encombrement de la balance, adoptons une valeur de 2000 g pour la portée (d’où une valeur de 40,0 cm pour L-L₃).

La connaissance de L-L₃ et de L₃-L₂ donne, par addition, la valeur de L-L₂ (ici : 46,3 cm)

La relation 1 réécrite donne alors :

qui est, ici, une équation dont la seule inconnue est L :

qui est une équation du 2° degré en L de la forme a.L² + b.L + c = 0. Il est important de comprendre que si L est l'inconnue du problème, L-L₂ est, ici, une donnée.

On remarque que le coefficient a est toujours négatif, b toujours positif. Par contre, le coefficient c peut prendre n’importe quel signe. Cela peut s’interpréter physiquement. En l’absence d’objet posé dans le plateau, la tare étant dans la position repérée par L₃, trois cas peuvent se présenter :

Le moment du poids du plateau est égal au moment du poids de la tare (c = 0). Dans ce cas, l’équilibre à vide est assuré pour L₂ = L/2. Les deux parties de la barre de part et d’autre de l’axe ont même longueur.

Le moment du poids du plateau est supérieur au moment du poids de la tare (c < 0). Dans ce cas, l’équilibre à vide nécessite que L₂ > L/2 : il faut que la partie droite de la barre soit plus lourde que sa partie gauche. Trois cas peuvent alors se présenter :

• Le discriminant est positif. Il n’y a qu’une racine positive (la somme des racines est –b/a > 0 et le produit est c/a < 0). La valeur de L est donnée par

. On calcule alors L₂ par L₂ = L-(L-L₂) puis L₃ par L₃ = (L₃-L₂)+L₂ et enfin L₁ par L₁ = L₂-(L₂-L₁). On vérifie alors si on a bien 0 < L₁ < L₂ < L₃ < L.

• Le discriminant est nul. La racine double est positive et vaut L = L-L₂ autrement dit que L₂ = 0 ce qui est physiquement absurde : il y a impossibilité de construction de la balance dans ce cas.

• Le discriminant est négatif. La moment de la tare est beaucoup trop grand. Il y a impossibilité de construction de la balance.

Le moment du poids du plateau est inférieur au moment du poids de la tare (c > 0). Dans ce cas, l’équilibre à vide nécessite que L₂ < L/2 : il faut que la partie droite de la barre soit plus légère que sa partie gauche. Le discriminant de l’équation en L est positif et il y a deux racines positives (la somme des racines est –b/a > 0 et le produit est c/a > 0). La plus petite des deux racines est inférieure à –b/2a c’est à dire L < L-L₂ ce qui est physiquement absurde. La valeur de L est alors donnée par

. On calcule alors L₂ par L₂ = L-(L-L₂) puis L₃ par L₃ = (L₃-L₂)+L₂ et enfin L₁ par L₁ = L₂-(L₂-L₁). On vérifie enfin si on a bien 0 < L₁ < L₂ < L₃ < L.

Avec les valeurs numériques retenues plus haut : a » -3,71 g/cm ; b » 343,55 g et c » 246,25 g.cm. Dans ces conditions, le discriminant de l’équation du 2° degré est positif et vaut environ +121678 g². On se trouve dans le 3° cas évoqué plus haut : il y a deux racines réelles dont une seule est strictement positive : L » 93,31 cm

En résumé, les deux tableaux suivants regroupent les données d'une part :

et les valeurs calculées d'autre part :

2) Aspect pratique :

Le coût des matériaux nécessaires à la construction de cette balance (support compris) est inférieur à 2000 FCFA

Lors du perçage des trous correspondant à L₁ et L₂, il est fort probable qu’il y aura de petits écarts entre les valeurs réelles et les valeurs théoriques (de l’ordre de 0,5 mm voire plus). On mesure alors aussi précisément que possible les valeurs réelles de L₁ et de L₂ qui deviennent des données.

Par exemple, au lieu de 34,51 cm, on trouve 34,45 cm pour L₁. De même, au lieu de 47,01 cm, on trouve 47,05 cm pour L₂.

Ces petits écarts inévitables nous conduisent à poser alors le deuxième type de problème.

IV- Résolution du deuxième type de problème :

On se donne les valeurs de L₁, L₂, m_plateau, M_maxi, S et k (les mêmes valeurs qu’au III pour les 4 dernières grandeurs ; légèrement différentes pour les 2 premières compte tenu des erreurs au moment du perçage). On cherche alors les valeurs de L₃, L, m_tare et m_barre.

La valeur de m_tare est donnée par la relation 2. On obtient une valeur légèrement différente de celle calculée au III. On réalise la correction.

La valeur de L-L₃ est donnée par la relation 3.

La relation 1 donne alors une équation du 2° degré en L :

On obtient ainsi la valeur corrigée pour L.

Remarque : compte tenu des petites erreurs prévisibles lors du perçage, on a intérêt à scier la barre par excès (2 cm d’excès est largement suffisant) puis à scier et/ou limer l’excédent par la suite !

V- Résumé : Etapes pratiques de la construction :

1) Choix des données :

• On choisit le plateau. On réalise les suspensions avec du fil de fer. On pèse soigneusement l’ensemble. On obtient ainsi la donnée m_plateau.

• On mesure le rayon extérieur du plateau. On ajoute 1,25 cm (la moitié de la largeur de la barre de fer plat servant à fabriquer le support). On obtient alors la plus petite valeur réalisable de L₂-L₁. Par sécurité, pour éviter tout cognement du plateau avec le support, on majore cette valeur de 1 cm.

• On choisit l’objet devant servir de tare. On réalise avec du fil de fer la suspension qui permettra de faire coulisser cet objet sur la barre.
•  
• On mesure le rayon extérieur de l’objet servant de tare. On ajoute 1,25 cm (la moitié de la largeur de la barre de fer plat servant à fabriquer le support). On obtient alors la plus petite valeur réalisable de L₃-L₂. Par sécurité, pour éviter tout cognement de la tare avec le support, on majore cette valeur de 1 cm.

• On se donne la portée et la sensibilité désirée.

• On réalise une mesure préalable du coefficient k. Pour cela, on prend un échantillon d’environ 60 cm de la bande de fer plat qui va servir à fabriquer le support et la barre. On mesure la masse (en g) de cet échantillon et on la divise par sa longueur (en cm). On obtient ainsi la valeur de k en g/cm.

2) Calculs :

• On calcule m_tare par la relation 2. Sur une balance, on remplit l’objet devant servir de tare avec du sable ou de la terre fine jusqu’à obtenir la masse désirée.

• On calcule L-L₃ par la relation 3.

• On calcule L-L₂ par L-L₂ = (L-L₃)+(L₃-L₂).

• On calcule les coefficients a, b, c de l’équation du 2° degré en L (voir au III).

• On calcule le discriminant et, s’il y a lieu, la valeur de L (voir au III). Si le calcul de L est impossible où si la valeur trouvée est exagérément grande alors il faut changer certaines données (retour à l’étape 1).

• On calcule L₂ par L₂ = L-(L-L₂) puis L₃ par L₃ = (L₃-L₂)+L₂ et enfin L₁ par L₁ = L₂-(L₂-L₁).

• On vérifie si on a bien 0 < L₁ < L₂ < L₃ < L. Si ce n’est pas le cas alors il faut changer certaines données (retour à l’étape 1).

Cette étape est rendue très rapide par l’usage d’une calculatrice programmable ou d’un ordinateur (tableau de calcul sous Excel par exemple).

3) Réalisation de la barre :

• Dans la bande de fer plat, on découpe à la scie à métaux une longueur de L+2 cm (par sécurité, il vaut mieux couper trop long que trop court !). On lime légèrement la section coupée afin d’éviter les accrocs. On ponce soigneusement la barre avec du papier émeri.

• Avec une perceuse électrique munie d’une mèche à étal de diamètre 3 mm, on réalise, dans la barre qu’on vient de découper, les trous correspondant à la fixation du plateau (à la distance L₁ du bord) et à l’axe (à la distance L₂ du bord).

• On mesure avec soin les valeurs réelles de L₁ et de L₂. Elles peuvent différer d’environ 0,5 mm de valeurs initialement voulues.

4) Ajustage théorique :

• On calcule la valeur corrigée de m_tare par la relation 2.

• On réalise l’ajustement (en retirant ou en ajoutant selon les cas) un peu de terre ou de sable.

• On calcule les coefficients a, b, c de l’équation du 2° degré en L (voir au IV) ainsi que son discriminant. On calcule la valeur corrigée de L.

• On réalise l’ajustement de L en sciant et/ou limant la partie excédentaire de la barre.

• On calcule la valeur corrigée de L₃ par L₃ = L-(L-L₃).

• Sur la barre, à l’aide d’un feutre permanent fin, on repère la graduation 0 repérée par la distance L₃ mesurée à partir du bord gauche de la barre.

• On continue les graduations : à chaque centimètre on écrit la masse précédente augmentée de 1/S (inverse de la sensibilité).

5) Réalisation du support :

On découpe à la scie une barre de métal de 75 cm. On fait des traits au feutre à 35 et à 40 cm du bord gauche de la barre.

Avec un étau et à la main, on plie la barre à angle droit selon les traits. On parfait l’angle au marteau :

On vérifie l’horizontalité du sommet . Eventuellement, on corrige à la scie et/ou à la lime.

A 2 cm environ sous le sommet, on perce deux trous (diamètre 3 mm) pour le passage du clou servant d’axe. Attention à l’alignement des trous et à l’horizontalité du clou.

On découpe deux barres : la première d’environ 60 cm de long servira à réaliser la stabilité du support. La deuxième d’environ 20 cm de long servira à assurer la rigidité entre les parties horizontale et verticale du support (fixation à 45°). Les liaisons seront assurées par 3 vis/écrous (voir dessin page 3).

6) Récapitulatif du matériel nécessaire :

VI- Raffinements possibles :

Peinture (éventuellement antirouille) de la barre (fond noir et traits de graduations blancs ou l'inverse).

Remplacement du clou matérialisant l'axe par un ensemble de deux roulements à billes (type 607). Ne jamais oublier que la précision réelle de la balance c'est la sensibilité théorique maximale + la minimisation des frottements solides.

Bien boucher la petite ouverture de la cartouche de gaz servant de tare. Ceci afin de minimiser les risques de variation de la tare liés à l'humidité.

VII- Utilisation en formation continue d'enseignants en Afrique :

Mme Claire NAMBOUSSA, professeur de sciences physiques au lycée Barthélémy BOGANDA de Bangui en plein travail de découpe (photo prise lors de la formation de mars 2000).

La conception/réalisation d'une balance romaine répond parfaitement à un cahier des charges classiques de formation continue en Afrique :

• Entraîner les enseignants de sciences physiques en poste à une démarche scientifique mêlant de façon étroite théorie et pratique (loin au delà des diktats d'opposition théorie/expérience, obsession compulsive des "spécialistes en sciences de l'éducation").

• Montrer très concrètement qu'on peut réaliser du matériel expérimental de grande qualité avec peu de moyens mais beaucoup de matière grise.

• Du point de vue symbolique, faire réaliser le matériel utilisé par les enseignants par les enseignants eux-mêmes, contribue à mieux utiliser ce dernier (sortir du dilemme/discours "je n'utilise pas le matériel car j'ai peur de le casser", "... parce que je ne sais pas m'en servir", etc.).

• La réalisation permet une initiation aux techniques de base du travail sur métal : scier, limer, percer, plier qu'un enseignant de sciences physiques (quel que soit son niveau) se doit de posséder.

Le prétexte de la balance romaine a été utilisé au Niger et en R.C.A. pour la formation continue d'enseignants de collège et de lycée. Les réactions des enseignants sont extrêmement positives (en particulier quand des enseignants d'établissements déjà dotés de la capitale travaillent au bénéfice de tous les établissements de province).

Parmi les intérêts plutôt théoriques de cette activité, citons en particulier :

• Les exemples physiques simples d'utilisation d'équations du 2° degré à des fins pratiques ne sont pas légion...

• C'est un très bon moyen de sensibiliser des enseignants africains à une utilisation intelligente de l'ordinateur (ici du côté moyen de calcul). Préservons les des dérives françaises du style "la loi d'Ohm assistée par ordinateur" !

• La distinction essentielle (et utile !) entre relations et équations. Qu'une même relation (ou ensemble de relations) puisse donner lieu à des équations différentes dans le cadre de problématiques différentes est une idée riche qui n'est, hélas, pas ou peu enseignée (y compris en France).

• Du point de vue physique, un objet a priori simpliste (une application de la condition d'équilibre d'un objet en rotation compréhensible, dans son principe, d'un élève de collège) peut donner lieu à des problématiques théoriques subtiles.

La partie conception ne peut évidemment pas être réalisée "ex nihilo" en séance de formation continue. Un découpage de la problématique théorique (sous forme d'exercices progressifs en petits groupes avec rapporteur) est à conseiller. Ce découpage est évidemment fonction du niveau des enseignants en formation.

Pour conclure, signalons qu'il faut compter 10 à 15 heures de travail effectif pour l'ensemble conception/réalisation.

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